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相機成像模型分析
來源： 閱讀：603 發(fā)布時間：2022-07-07 10:14:10
相機成像模型分析
相機對于機器人來說就相當于人的眼睛，景物在相機中呈現(xiàn)的樣子就是機器看到的世界的樣子。當我們理解了相機的成像原理，才能理解圖像中的景物與實際世界中景物的對應關系。
相機成像模型
相機模型是光學成像模型的簡化，目前有線性模型和非線性模型兩種。實際的成像系統(tǒng)是透鏡成像的非線性模型?；镜耐哥R成像原理如圖所示：
其中 u 為物距， f 為焦距，v 為相距。根據(jù)透鏡成像原理，三者滿足關系式：
相機的鏡頭是一組透鏡，當平行于主光軸的光線穿過透鏡時，會聚到一點上，這個點叫做焦點，焦點到透鏡中心的距離叫做焦距 f。數(shù)字相機的鏡頭相當于一個凸透鏡，感光元件就處在這個凸透鏡的焦點附近，將焦距近似為凸透鏡中心到感光元件的距離時就成為小孔成像模型。小孔成像模型如圖所示：
基于上圖，當s和f相等的時候，便是相機的成像模型。小孔成像模型是相機成像采用較多的模型。在此模型下，物體的空間坐標和圖像坐標之間是線性的關系，因而對相機參數(shù)的求解就歸結(jié)到求解線性方程組上。
這里為了計算方便，保持方向的一致性，我們往往將圖像以光心為坐標原點，進行中心對稱旋轉(zhuǎn)，也就是將圖像映射到光心和物體的中間，而物體在圖像中的映射點，正好為物體與光心的連線和圖像平面的交點。
四個常用坐標系
無論求解線性方程組還是非線性方程組，重要的是用方程描繪出物理模型。那么就需要選取參考坐標系，而在機器視覺中常用的參考坐標系有四個：世界坐標系、相機坐標系、圖像坐標系、和像素坐標系。
為了清楚的說明各種坐標系之間的聯(lián)系，我們首先看下面一個圖片，圖片中包括了世界坐標系、相機坐標系和圖像坐標系的關系。接下來為大家詳細介紹一下每個坐標系的用處。
世界坐標系：是客觀三維世界的絕對坐標系，也稱客觀坐標系。因為數(shù)碼相機安放在三維空間中，我們需要世界坐標系這個基準坐標系來描述相機的位置，并且用它來描述在此三維環(huán)境中的其它任何物體的位置，用（Xw, Yw, Zw）表示其坐標值。
圖像坐標系：以CCD 圖像平面的中心為坐標原點，X軸和Y 軸分別平行于圖像平面的兩條垂直邊，用( x , y )表示其坐標值。圖像坐標系是用物理單位（例如毫米）表示像素在圖像中的位置。
相機坐標系（光心坐標系）：以相機的光心為坐標原點，X 軸和Y 軸分別平行于圖像坐標系的 X 軸和Y 軸，相機的光軸為Z 軸，用（Xc, Yc, Zc）表示其坐標值。
像素坐標系：以 CCD 圖像平面的左上角頂點為原點，X 軸和Y 軸分別平行于圖像坐標系的 X 軸和Y 軸，用(u , v )表示其坐標值。數(shù)字相機采集的圖像首先是形成標準電信號的形式，然后再通過模數(shù)轉(zhuǎn)換變換為數(shù)字圖像。每幅圖像的存儲形式是M × N的數(shù)組，M 行 N 列的圖像中的每一個元素的數(shù)值代表的是圖像點的灰度。這樣的每個元素叫像素，像素坐標系就是以像素為單位的圖像坐標系。
由于圖像坐標系和像素坐標系聯(lián)系比較緊密，可能有很多小伙伴也容易弄錯，這里在給出兩個坐標系的關系圖。
通過上圖我們可以看出來，兩個坐標的原點有一定的偏差，往往就是圖像的長寬的一半。
相機內(nèi)參與外參
在介紹完坐標系后，我們需要來描述相機成像的數(shù)學過程。根據(jù)像素坐標系和圖像坐標系的定義，我們可以得到如下關系：
采用齊次坐標再用矩陣形式將上式表示為：
其中（u0, v0）是圖像坐標系原點在像素坐標系中的坐標，dx 和 dy分別是每個像素在圖像平面x和 y方向上的物理尺寸。
圖像坐標系與相機坐標系的轉(zhuǎn)換為：
其中 f 為焦距（像平面與相機坐標系原點的距離）。用齊次坐標系和矩陣表示上述關系：
相機坐標系與世界坐標系的變換為：
其中 R 為3 × 3正交旋轉(zhuǎn)矩陣，t 為三維平移向量。
我們將上述所有的變換關系整合起來可以得到：
其中：
上面等式中ax, ay分別是圖像水平軸和垂直軸的尺度因子。K的參數(shù)中只包含焦距、主點坐標等只由相機的內(nèi)部結(jié)構決定，因此稱 K 為內(nèi)部參數(shù)矩陣，ax, ay , u0, v0叫做內(nèi)部參數(shù)。Mt中包含的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量是由相機坐標系相對于世界坐標系的位置決定的，因此稱Mt為相機的外部參數(shù)矩陣，R和t叫做外部參數(shù)，KMt叫投影矩陣。相機標定就是確定相機的內(nèi)部參數(shù)和外部參數(shù)。
相機畸變模型
上面推導了相機投影成像的數(shù)學模型，但是上面是在理想狀況下推導的，實際上由于相機光學系統(tǒng)存在加工和裝配的誤差，透鏡就并不能滿足物和像成相似三角形的關系，所以相機圖像平面上實際所成的像與理想成像之間會存在畸變?；儗儆诔上竦膸缀问д?，是由于焦平面上不同區(qū)域?qū)D像的放大率不同形成的畫面扭曲變形的現(xiàn)象，這種變形的程度從畫面中心至畫面邊緣依次遞增，主要在畫面邊緣反映比較明顯。為了減小畸變，拍攝圖片時應盡量避免用鏡頭焦距的至廣角端或至遠端拍攝。實際的相機成像模型如下圖所示：
其中 mr(xr,yr)表示實際投影點的像平面坐標系下的物理坐標，mi(xi,yi)表示理想投影點的像平面坐標系下的物理坐標。
對于相機的畸變，可以包括徑向畸變和偏心畸變和薄棱鏡畸變等。
理論上來說鏡頭都存在徑向和切向畸變，但是通常徑向畸變較大，切向畸變較小。
偏心畸變模型是由于多個光學鏡頭的光軸不能完全共線產(chǎn)生的，這種畸變是由徑向和切向畸變共同構成的。
薄棱鏡畸變是由于鏡頭設計制造缺陷和加工安裝所造成的，如鏡頭與相機成像平面有一個很小的傾角等。因為薄棱鏡畸變非常小，通常不考慮。
相機的畸變可以由非線性模型來表示，由于公式比較復雜，而且多數(shù)應用只在相機的標定中使用，因此這里小白只給出最后化簡后的畸變模型：
其中k和p都是畸變系數(shù)，可以在標定的過程中求出該系數(shù)矯正相機模型。
總結(jié)
如果你只是想簡單了解一下相機的原理，不需要知道其數(shù)學公式，那么只需要知道小孔成像原理就可以啦~對于相機各種參數(shù)，可以用一種更容易理解的方式來解讀。
內(nèi)參數(shù)矩陣：告訴你上述那個點在1的基礎上，是如何繼續(xù)經(jīng)過攝像機的鏡頭、并通過針孔成像和電子轉(zhuǎn)化而成為像素點的。
外參數(shù)矩陣：告訴你現(xiàn)實世界點(世界坐標)是怎樣經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移，然后落到另一個現(xiàn)實世界點(攝像機坐標)上。
畸變矩陣：告訴你為什么上面那個像素點并沒有落在理論計算該落在的位置上，還產(chǎn)生了一定的偏移和變形。
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